《曲线积分与曲面积分》的知识要点、题型与典型题解析

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

各类积分关系图

【注】对于某些特定的三重积分、对面积的曲面积分、对弧长的曲线积分、二重积分，基于元素法可以直接转换为定积分.

一、对弧长的曲线积分计算方法

一般采用直接计算法，即写出曲线的参数方程，借助弧微分计算公式，直接代入被积被积表达式转换为定积分的方法计算，注意定积分下限小于上限.  

具体细节参见文章：

二、对坐标的曲线积分的计算方法

1、直接计算方法：参数方程表达式直接代入，转换为定积分计算的方法。注意定积分下限为起点对应的参数，上限为终点对应的参数.

2、两类曲线积分之间的关系：注意方向余弦构成的切向量的方向应与曲线方向一直.

3、格林公式与斯托克斯公式：当积分曲线为平面曲线时，则使用格林公式. (注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)，对于空间曲线则考虑斯托克斯公式，同样要满足三个条件。

4、积分与路径无关及四个等价描述

具体细节参见文章：

三、对面积的曲面积分计算方法

一般采用直接计算法，要求积分曲面为简单类型，不为简单类型的积分曲面借助于积分对积分区域的可加性，将其分割为简单类型，借助面积微元的积分变量微元的描述形式转换为二重积分计算。也可以考虑借助于其实际意义，借助元素法转换为其他类型的积分来完成计算.  

具体细节参见文章：

四、对坐标的曲面积分的计算方法

1、直接计算方法：将对不同坐标的曲面积分分开单独计算，考虑曲面为单独的三种不同简单类型，采取直接代入函数表达式转换为二重积分的方法计算，唯一要注意的是，法向量与相应坐标轴的方向关系决定直接将曲面积分转换为二重积分的正负。

2、两类曲面积分之间的关系：注意方向余弦构成的法向量的方向应与曲面的法向量方向一直.

3、不同坐标积分之间的转换：将三个对坐标的曲面积分转换为一种类型的对坐标的曲面积分，这样就只要考虑曲面为一种类型的简单类型即可.

4、高斯公式：当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式. (注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)

具体细节参见文章：

5、曲线、曲面积分直接的物理意义与几何意义

(1) 对弧长的曲线积分用于计算曲线的长度、曲线型物件的质量；坐标面上的曲线积分也可以用于计算母线平行于另一坐标轴的柱面片的面积；用于描述计算流量和环量等.

(2) 对坐标的曲线积分用于计算作功、流量、环量等.

(3) 对面积的曲面积分用于计算曲面片的面积，曲面型物件的质量.

(4) 对坐标的曲面积分用于计算流量.

(5) 场论中的三个重要概念：梯度、散度和旋度.

具体模型、计算方法与典型题参见以上列出的各文章推送的内容和下面的推送的文章：

参考课件节选：

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 大学数学公共基础课程分享交流平台！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容